Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Program 2005
Grandes descubrimientos matemáticos del siglo XX
Resumen de la conferencia por:

Manuel López Pellicer
Licenciado en Ciencias Físicas y Matemáticas. Doctor en Ciencias Matemáticas. Profesor Agregado de Análisis Funcional en la Universidad de Valencia (1975) y Catedrático de Matemática Aplicada en la Universidad Politécnica de Valencia desde 1979. Académico correspondiente de la Real Academia de Ciencias (1989) y Académico numerario desde 1998. Sus temas de investigación son Topología General y Análisis Funcional (espacios localmente convexos, espacios de Banach y Topología descriptiva). Es coautor de los libros Metrizable barrelled spaces (Logman, 1995), donde expone sus contribuciones en algunos problemas de tonelación y teoría de la medida, General Topology in Banach Spaces (Nova Scientific Publications 2001) y Unsolved Problems on Mathematics for the 21st Century (IOS Press 2001)
 
texto completo publicado de la conferencia (pdf - 442 kb.)

resumen

En la investigación matemática del siglo XX han influido los 23 problemas propuestos por Hilbert en el Congreso de París de 1900, el desarrollo de los ordenadores y el uso del método matemático en otras disciplinas.

En 1902, Rusell publicó su famosa paradoja y Lebesgue su Teoría de la Medida e Integral. La paradoja originó el sistema axiomático de la Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel (1908-1921). Luego vinieron las Estructuras (Bourbaki, 1930) y la Teoría de las Categorías (Eilenberg, 1950).

El método de Lebesgue proporcionó medida a "muchos" subconjuntos de Rn, pero Vitali encontró subconjuntos no medibles por Lebesgue, para los que Hausdorff, Banach y Tarski encontraron comportamientos paradójicos, explicados por von Neumann en 1930 con la teoría de los grupos amenables.

En 1910, Steinitz obtuvo la clasificación de los cuerpos, Brouwer su famoso teorema del punto fijo y Bieberbach probó la finitud del número de grupos de simetría n-dimensionales, resultado complementado en 1974 por Penrose con recubrimientos carentes de simetría, encontrados unos diez años después en los cuasicristales.

En 1915, Einstein publicó su Teoría General de la Relatividad y Hilbert dedujo las ecuaciones de Einstein y de Maxwell de un único principio variacional, para unificar los campos gravitacional y electromagnético.

De la década de los 20 son los espacios de Banach, el teorema del minimax de von Neumann, origen del estudio del equilibrio económico, y los números trascendentes de Gelfond.

Gödel puso límite a la capacidad de elaborar sistemas axiomáticos con su teorema de incompletitud (1931) y Turing probó que el razonamiento humano es mucho más que un algoritmo (1936). En esta década de los 30 se axiomatizó la Mecánica Cuántica (von Neumann) y la Teoría de la Probabilidad (Kolmogorov). Gödel probó que el universo de los conjuntos constructibles cumple los axiomas de Zermelo-Fraenkel y la hipótesis del continuo1.

Durante la segunda guerra mundial se construyeron algunos de los primeros ordenadores y se desarrollaron técnicas de optimización. Después del conflicto, los ordenadores llegaron al mundo científico, Schwartz publicó su teoría de distribuciones (1945), la inteligencia artificial nació con el análisis de Shanon sobre el ajedrez (1950) y se enriqueció la teoría de optimización con las aportaciones de Dantzing, Kuhn y Tucker.

El año 1951, con método matemático, Arrow probó la no existencia de un sistema electoral perfecto y von Neumann formuló la auto reproducción de una máquina, modelo encontrado por Crack y Watson en 1953 en la reproducción celular.

La segunda mitad del siglo XX, además de grandes resultados, como la Teoría de los Sistemas Dinámicos de Kolmogorov, Arnold y Moser (1954-1962), la Teoría del Caos (1963), las Catástrofes (1964), la Teoría de Nudos de Jones (1984), los recientes resultados de Bourgain y Gowers en Análisis Funcional o la prueba de Wiles del último teorema de Fermat (1995), ha resuelto grandes problemas con grandes grupos de investigación apoyados por ordenador, como la clasificación de Gorestein de los Grupos Finitos (1972), la resolución del problema de los cuatro colores (Appel y Haken, 1976), la construcción del fractal de Mandelbrot (1980), la refutación de la hipótesis de Mertens (Riele y Odlizko, 1983) o la solución de Hale al problema de Kepler (1998).

Muchos problemas quedan abiertos para el siglo XXI. Tres muy famosos son la hipótesis de Riemann y las conjeturas de Goldbach y Poincaré. No es posible predecir si el siglo XXI traerá su solución, pero es casi seguro que el siglo XXI nos dará aportaciones tan sorprendentes e inesperadas como las del siglo XX, que ahora no podemos imaginar.

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1Posteriormente, en 1963, Cohen añadió a los conjuntos constructibles otros conjuntos genéricos, obteniendo universos que cumplían los axiomas de Zermelo-Fraenkel y la negación de la hipótesis del continuo.