Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Program 2000 - World Mathematics Year
Geometría y Física: ¿cara y cruz de una misma moneda?
Resumen de la conferencia por:

Pedro Luis García Pérez
Licenciado en Ciencias Físicas. Doctor en Ciencias Matemáticas. Catedrático de Geometría y Topología. Ha sido Decano de la Facultad de Ciencias y Director del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Salamanca. Presidente de la Real Sociedad Matemática Española y Miembro del Comité Español de la Unión Internacional de Matemáticas. Director de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación de la Universidad Politécnica de Cartagena. Académico Correspondiente de la Real Academia de Ciencias
 
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resumen

Uno de los rasgos más característicos de la Física Teórica del primero y último cuarto del siglo XX ha sido sin duda alguna el de su creciente geometrización. Producido el gran cambio en la concepción de la Geometría en 1872 con el famoso Programa de Erlangen de F. Klein, puede decirse que la Relatividad Especial propuesta por Einstein en 1905 representó el primer punto de inflexión de la Física Clásica a la Física Moderna. Si una geometría en sentido de Klein se caracterizó como el conjunto de los "invariantes" respecto de un "grupo de transformaciones" , la otra cara de la moneda fue entender una teoría física como los "fenómenos" que son independientes de un cierto tipo de "observadores". Los conceptos de "grupo" y de "observador" hacen así su aparición en la historia de la Ciencia como sendas expresiones de una misma idea fundamentadora. Fue de este modo, en efecto, como la Relatividad Especial concibió el Electromagnetismo de Maxwell a partir del "grupo de Poincaré" o equivalentemente de sus "observadores inerciales". Los efectos de este cambio fueron, como se sabe, altamente revolucionarios: disolución de los hasta entonces intocables conceptos de espacio y de tiempo y sustitución de la impecable Mecánica de Newton por la así llamada Mecánica Relativista. Desde entonces el "espacio-tiempo" dotado de la métrica de Minkowski constituye el marco indiscutible de la nueva Física, que se convierte por primera vez en pura Geometría de la Teoría de Campos.

La extensión de esta nueva concepción a todos los observadores o lo que es lo mismo el deseo de hacer una teoría invariante por el grupo de todos los difeomorfismos del espacio-tiempo, llevó a Einstein en 1915 a sustituir la métrica pseudoeuclidea de Minkowski por una métrica arbitraria y a considerar ésta como un nuevo campo físico en pie de igualdad con los hasta entonces conocidos (campo electromagnético, campo de velocidades de un fluido, etc.). Nace así la Relatividad General, primera teoría gauge de la historia de la Física, en la cual el nuevo campo se identifica con la "gravitación", interpretándose la curvatura de la métrica como la fuerza gravitacional, correspondiente. Geometría Diferencial y Física Teórica aparecen cada vez con más claridad como una misma cosa, atravesando sus relaciones por uno de sus más gloriosos momentos.

Un último salto permitió, ya en el último cuarto del siglo, hacer realidad formal esa identidad presentida entre ambas Ciencias con la caracterización funtorial de la Geometría Diferencial mediante el concepto de "fibrado natural sobre una variedad diferenciable": traducción casi literal al lenguaje matemático de la idea de "observabilidad" de la física einsteniana. La identidad entre Física y Geometría puede decirse que es por fin un hecho claro y manifiesto, al menos en su ámbito natural de aplicación: el mundo macroscópico.

Pero el siglo XX es también, y muy especialmente, Física Cuántica. Iniciada en 1900 con el descubrimiento del "quantum de acción" por Planck, su desarrollo conceptual empieza en 1920 produciéndose una nueva concepción de las nociones físicas fundamentales. En ella, las "partículas localizadas" se sustituyen por "ondas", de modo que la base geométrica de la Física se toma en "indeterminada". Además, varias magnitudes tales como el momento angular, el espín, la carga eléctrica, etc., sólo pueden tomar "valores discretos", un hecho aún más extraño si cabe. La matemática que mejor se adapta para explicar tales fenómenos es la teoría de Operadores Lineales; doctrina ésta muy poco geométrica por aquel entonces. No es de extrañar pues que la nueva física, que aspiraba nada menos que a dar la última explicación del Universo, eclipsara durante años las ideas geométricas de la etapa anterior. Pero las cosas no fueron tan bien como en principio se pensaba, siendo dos de los más serios obstáculos: la dificultad para construir una Teoría Cuántica de Campos matemáticamente consistente y cómo conciliar la Relatividad General con la Mecánica Cuántica.

Así se entra, otra vez, en el último cuarto del siglo XX, en que una serie de nuevos descubrimientos, principalmente procedentes de la Geometría y Topología de las Teorías de Gauge en su aspecto cuántico, han abierto una nueva etapa en el desarrollo de las inter-relaciones entre Física y Geometría que están siendo muy beneficiosas para ambas partes. Se ha llegado a hablar incluso de una nueva Edad de Oro de las relaciones entre estas dos Doctrinas comparable con la vivida en los primeros años del siglo. Sin embargo y a pesar de los profundos resultados así obtenidos, sobre todo del lado matemático, es el todavía carácter misterioso de dichas relaciones lo que ha producido un sentimiento general de que se está aún muy lejos de una explicación geométrica comprensible del mundo físico en su global complejidad. ¿Tendrá el siglo XXI la clave de este fascinante problema?