Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Programa 2000 - Año Mundial de las Matemáticas
La estructura racional del pensamiento matemático. El infinito matemático
Resumen de la conferencia por:

Manuel López Pellicer
Doctor en Ciencias Matemáticas. Ha sido Profesor Agregado de Análisis Funcional en la Universidad de Valencia y desde 1979 Catedrático de Matemática Aplicada en la Universidad Politécnica de Valencia. Académico Correspondiente de la Real Academia de Ciencias desde 1989 y Académico Numerario desde 1998. Sus campos de trabajo son la Topología Conjuntista y el Análisis Funcional
 
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resumen

Las construcciones y la medición de tierras llevaron a los egipcios a la utilización de números y figuras, sin clara manifestación del ideal científico de organizar de forma deductiva sus conocimientos. El genio griego, con el uso de los procedimientos generales del pensamiento, consiguió la estructuración racional de los legados matemáticos egipcio y oriental junto a sus propias aportaciones. Desde entonces la demostración nos permite discernir la veracidad de los razonamientos.

Sobre el número, una idea en el sentido platónico, intentaron en vano los pitagóricos unificar sus conocimientos matemáticos, considerados reflejos de la armonía del Universo. Más tarde Arquímedes percibió relaciones entre geometría y cinemática e inició métodos propios del cálculo integral para determinar áreas y volúmenes. Eratóstenes, midiendo el ángulo de la sombra en dos ciudades, estimó en 39.690 kilómetros el meridiano de la Tierra, dos mil años antes de que Magallanes y Elcano completasen la vuelta al mundo. Con definiciones, postulados y teoremas están recogidos los conocimientos matemáticos griegos en los "Elementos" de Euclides, que con la "Biblia" son las dos obras que más ediciones han conocido.

Es mérito de los árabes la síntesis de la matemática griega y los conocimientos de los calculadores hindúes, iniciando así el álgebra, entonces una aritmética general en la que intervienen números y cantidades indeterminadas. Descartes, en el siglo XVII, transforma el álgebra en el método para razonar en abstracto, que sirve de base a otros conocimientos científicos y que lo aplicó a la geometría. "Para resolver un problema con números o relaciones abstractas, escribió Newton, basta con traducirlo al sistema algebraico". La construcción científica cartesiana se contrapone al idealismo griego.

El cálculo infinitesimal, nacido por problemas planteados por la cinemática y por el genio de Newton y Leibniz, se convierte en la herramienta del desarrollo de la Física. Además, sus ideas de aproximación y convergencia permitieron pasar de las funciones algebraicas elementales a las funciones desarrollables en serie. La potencia del cálculo infinitesimal sugirió, sin éxito, a Leibniz el encontrar la forma de la estructura racional del pensamiento, dada por un lenguaje universal simbólico al que poder trasladar los procesos del razonamiento, y que garantizase la corrección en la argumentación.

El esfuerzo del último siglo en encontrar las razones profundas de los descubrimientos y las ideas comunes sepultadas en distintas teorías matemáticas ha revelado la actividad interna del pensamiento matemático, formalizada en la noción de estructura, consistente en ciertos entes abstractos, dados por unas definiciones y unas condiciones independientes, llamados axiomas o postulados, de manera que definiciones y axiomas no lleven a contradicción.

Las definiciones y axiomas de una estructura las sugieren los objetos reales, como la línea recta, el sólido rígido o el postulado de las paralelas de la geometría euclidea, o bien las crea el espíritu humano para resolver problemas matemáticos o físicos, como los números imaginarios, los transfinitos o el axioma de libre elección. Otro valor de las estructuras es que las consecuencias deducidas son válidas en situaciones muy diversas.

Un antecedente remoto de la teoría axiomática de conjuntos está en los dos postulados pitagóricos de que la recta se podía dividir indefinidamente y que estaba formada por puntos de longitud no nula, que las paradojas de Zenón probaron su incompatibilidad. Por ello Euclides trabajó con una recta de infinitos puntos de longitud cero y eludió el término conjunto infinito. Así evitó paradojas, como la obtenida dieciocho siglos después por Galileo entre el todo es mayor que sus partes y que hay tantos números naturales como cuadrados perfectos.

Finalmente, Bolzano dio la definición de conjunto infinito, Cantor construyó su teoría de conjuntos, Frege elaboró un sistema axiomático, invalidado por la paradoja de Bertrand Rusell y Zermelo consiguió una axiomática consistente, que admite como axioma la existencia de conjuntos infinitos y lleva a resultados no constructivos, como el paradójico teorema de Banach y Tarski de duplicación de la esfera.

David Hilbert profetizó la necesidad que tiene la matemática de los conjuntos infinitos cuando al tambalearse la teoría de conjuntos por las paradojas dijo que con ella "Cantor había creado un paraíso a los matemáticos del que nadie les podría expulsar" para seguir cultivando la que el poeta Paul Valéry llamaba "la más bella de las ciencias".