Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Programa 2000 - Año Mundial de las Matemáticas
De la pompa de jabón al satélite artificial: lo óptimo como estrategia
Resumen de la conferencia por:

Jesús Ildefonso Díaz Díaz
Doctor en Matemáticas. Catedrático de Matemática Aplicada de la Universidad Complutense de Madrid. Académico Numerario de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid. Doctor Honoris Causa por la Universidad de Pau (Francia)
 
texto completo publicado de la conferencia (pdf - 2.71 mb.)

resumen

Objetos naturales y elementos de la más sofisticada tecnología obedecen a un principio común: la optimalidad de su diseño. Se podría decir que se trata de un principio de economía de medios respondiendo al ideal de la anhelada simplicidad de los científicos e ingenieros, sin olvidar a muchos creadores de Arte en su más amplia concepción. Teorías de las ciencias naturales y sociales así como numerosos objetos de nuestra vida cotidiana están inspirados en ese mismo principio. Es un hecho común en todas las culturas. Piénsese, por ejemplo, en los esquimales: preocupados por la pérdida de calor, conocen bien desde la antigüedad que la mejor manera de construir un habitáculo con un volumen dado de manera que su superficie sea mínima, es la semiesfera, lo que justifica la forma de sus iglúes.

Desde las premoniciones de la cultura griega, pasando por Leonardo da Vinci, Leibniz y Newton, hasta la sistematización matemática iniciada por los hermanos Bernoulli y Euler, el llamado principio de mínima acción ha estado presente en cada nuevo capítulo de las ciencias naturales sin excluir a la Teoría de la Relatividad. No faltaron polémicas filosóficas e incluso metafísicas protagonizadas entre otros por Maupertuis y Voltaire. Pronto se vería que en los procesos dinámicos la llamada "acción" no necesita coincidir con un "mínimo" (como lo son los puntos más bajos de los valles de un sistema montañoso) sino que a veces son incluso "máximos" (como los picos de las montañas) o más en general "puntos estacionarios" (puntos del sistema montañoso en los que "el suelo", o plano tangente, es horizontal).

De hecho, con gran frecuencia la naturaleza ofrece múltiples estados estacionarios generales. Algunos de ellos pueden ser puntos mínimos, propios de la estabilidad pues una pequeña bola regresaría de manera natural a esa posición si una vez alejada moderadamente la dejáramos libre. Pero otros estados pueden ser "inestables" como es el caso de los máximos.

La teoría matemática que desarrolla esas ideas, el Cálculo de Variaciones, no ha cesado de ofrecer retos de enorme dificultad desde su creación: no es extraño que el primer premio matemático instaurado para suplir la ausencia de premio Nobel en Matemáticas, la medalla Fields, fuese otorgada a un destacado especialista, J. Douglas, por sus profundas contribuciones en esa parcela de las Matemáticas.

El hombre se ha inspirado en la naturaleza, imitándola en su afán creador. Las superficies que se pueden encontrar en numerosas edificaciones reproducen, a gran escala, las formas adoptadas por superficies jabonosas formadas entre alambres. Incluso el diseño de la mejor red de comunicación, por ejemplo entre las grandes ciudades de un país, puede ser obtenido por medio de esas superficies jabonosas. Es la simulación analógica mediante maquetas que ha dado paso, hoy día, a la simulación mediante el ordenador. Superficies muy complicadas, desconocidas hasta el momento, han sido conocidas y generadas gracias al ordenador.

El Cálculo de Variaciones ofrece en nuestros días nuevas aplicaciones como por ejemplo el tratamiento de imágenes o la concepción de nuevos materiales como materiales compuestos.

El caso del satélite artificial responde a una idea bien distinta. Desde que el hombre primitivo generase fuego al frotar con violencia dos piedras la especie humana no ha cesado de intentar modificar los procesos naturales para satisfacer sus necesidades y mejorar su calidad de vida. La idea de actuar sobre un proceso natural está presente incluso en otras especies animales. Esa actitud no pretende ahora imitar a la naturaleza sino combatir sus leyes.

Pensemos en nuestros juegos infantiles intentando mantener en equilibrio vertical, bien inestable, el palo de una escoba o cualquier otro objeto de forma alargada. Evitar la turbulencia o el caos allí donde se presente, o por el contrario provocarlos en otros casos, son ejemplos de actuaciones frecuentemente deseadas en numerosas ocasiones.

Desde un punto de vista matemático, quizás puedan situarse los inicios de la materialización de esa línea en los trabajos de Maxwell de 1868 sobre el estudio de la estabilidad de los motores de vapor mediante "gobernadores". La Cibernética de Wiener y los avances aeronáuticos de los cincuenta desembocarían en el éxito de las misiones espaciales en las que la trayectoria modifica la que llevaría por la atracción gravitatoria en búsqueda de unos objetivos concretos. Ahora no es la naturaleza quien diseña la estrategia óptima sino que haciendo uso de la libertad de elección (aunque bajo unos límites plausibles para la acción) el hombre escoge el control y toma la decisión que más se acerque a sus fines, economizando a la vez su coste. Es la Teoría del Control Óptimo. La realización material de las estrategias matemáticas requiere con frecuencia sofisticadas tecnologías: el diseño de las órbitas para llegar a la Luna fue muy anterior a la culminación de la meta en 1969.

Los desafíos actuales de esa teoría se refieren al caso de sistemas complejos, tanto deterministas como estocásticos. Es el caso de las catástrofes naturales, el efecto invernadero, prevención de enfermedades y otros muchos retos de la sociedad de nuestros días.