Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Programa 2000 - Año Mundial de las Matemáticas
Verdades no demostrables: Teorema de Gödel y sus generalizaciones
Resumen de la conferencia por:

Baltasar Rodríguez-Salinas Palero
Catedrático de las Universidades de Zaragoza y Madrid. Profesor Emérito. Doctor Ingeniero Geógrafo. Académico de Número de la Real Academia de Ciencias de Madrid y de la de Zaragoza. Académico Correspondiente de la Academia de Ciencias de Lisboa. Premio Alfonso X el Sabio (1953). Primera Ayuda "Juan March" de Matemáticas (1966). Ha publicado más de 150 trabajos científicos. Ha dirigido 21 tesis doctorales
 
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resumen

Si se nos preguntase cuales son las contribuciones más importantes a la Matemática en el siglo XX, contestaríamos que son la creación de la teoría de conjuntos por G. Cantor y los teoremas de incompletitud de K. Gödel.

La teoría de conjuntos con sus paradojas dio un gran impulso a los Fundamentos de la Matemática y a la noción de verdad.

Un sistema de axiomas del que no se siga ninguna contradicción se dice consistente. Pues bien, ocurre que dos sistemas de axiomas pueden ser consistentes y sin embargo la unión de ambos no lo sea. Es claro que si la verdad existe se sigue que alguno de esos sistemas de axiomas contiene un axioma falso. Por eso, si creemos en la verdad y nos sentimos platónicos, debemos decir como L.E.J. Brouwer que la "Certeza es más importante que la Consistencia". Es claro que para que un sistema de axiomas sea verdadero es necesario que el sistema sea consistente, pero no suficiente.

El teorema de Gödel dice que un sistema de axiomas A consistente que contenga los axiomas de la Aritmética en ciertas condiciones contiene una proposición verdadera que no es un teorema de A, más aún, el mismo enunciado de la consistencia de A no es un teorema de A. La demostración primitiva se hace dentro del sistema de la Aritmética, pero lo importante no es la demostración sino el resultado. Por ello como el teorema es intuitivamente verdadero en condiciones más generales, se debe estudiar con más detalle dentro de una lógica de orden superior, usual en el Análisis Matemático y en otras partes de la Matemática. Nuestro espíritu debe ser como el de Hilbert manifestado en su "Debemos saber. Sabremos" incorporando a la Ciencia y a la Matemática el Paraíso de Cantor y también el sugerido por las ideas de Gödel. El preocuparse de los métodos seguidos en las demostraciones es importante, pero no debe ser una barrera para llegar a la verdad. Una intuición bien adiestrada nos basta, sobre todo si es bella.