Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Program 2000 - World Mathematics Year
Los números y los quanta
Resumen de la conferencia por:

Alberto Galindo Tixaire y Antonio Dobado González

Alberto Galindo Tixaire
Licenciado en Ciencias Exactas. Doctor en Ciencias Físicas, Catedrático de Física Matemática. Catedrático de Física Teórica. Director del Departamento de Física Teórica de la Universidad Complutense de Madrid. Fundador y primer Director del Grupo interuniversitario de Física Teórica, miembro del primer Scientific Council del Erwin Schrödinger International Institute of Mathematical Physics, Viena. Premio Nacional de Investigación en Física 1977. Premio Nacional de Investigación "Santiago Ramón y Cajal" 1985. Premio Aragón 1991 a la Investigación Científico-Técnica. Académico Electo de la Academia de Ciencias Exactas, Físico-Químicas y Naturales de Zaragoza. Miembro de la Academia Europaea. Académico de Número de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

Antonio Dobado González
Profesor Titular del Departamento de Física Teórica de la Universidad Complutense de Madrid, Licenciado en Ciencias Físicas. Licenciado en Ciencias Matemáticas. Doctor en Ciencias Físicas. Ha desarrollado parte de su actividad docente e investigadora, principalmente en el ámbito de la Física de Altas Energías, en el departamento de Física Teórica de la U.A.M., en el U.P.M., en la División de Partículas del CIEMAT y en la División Teórica del CERN, de la que es visitante habitual

 
texto completo publicado de la conferencia (pdf - 6.20 mb.)

resumen

El año 2000 es, por elección, año mundial de las matemáticas, y por derecho, año mundial de los quanta, al cumplirse el 14 de diciembre de 2000 el primer siglo de su descubrimiento. Sería, por tanto, tiempo propicio para analizar en profundidad su influjo mutuo, Pero el marco matemático natural de las teorías cuánticas son las álgebras C*, los espacios hilbertianos, y la teoría de operadores; estos temas escapan del conocimiento de la mayoría ciudadana, y no parece ser esta la ocasión idónea para tal análisis.

Ahora bien, la física de los cuantos abunda en ejemplos bellos e importantes cuya base matemática es sumamente simple: operaciones elementales como la adición numérica, o los giros, y conceptos matemáticos primitivos, como la factorización en primos, o la dimensión. Presentándolos cumpliremos un doble objetivo: honrar a las milenarias matemáticas como lenguaje de la física, y celebrar a la vez el centenario de los quanta como unidades indivisibles y misteriosas de la energía.

Las certezas de la física clásica han dejado paso a la indeterminación, al azar cuántico. Las reglas probabilísticas que lo rigen son peculiares: cuando algo puede ocurrir de varios modos, su probabilidad no es la suma de las probabilidades de cada uno de éstos. La regla aditiva es correcta, sin embargo, para las amplitudes, una especie de "raíces cuadradas con fase" de las probabilidades en cuestión. Este hecho subyace a una de las formulaciones más sugestivas de la nueva física (la suma sobre historias o caminos alternativos) y es origen de alguna de sus peculiaridades (como la posibilidad de interferencias). Se ilustra este hecho con el efecto Bohm-Aharonov (o cómo un electrón "olfatea" de lejos un campo magnético), y con el algoritmo de Shor (o cómo "destapar" por interferencia y enredo un período en la aritmética modular y factorizar así grandes enteros).

Vivimos en un universo de 3+1 dimensiones: bastan cuatro coordenadas radar para fijar localmente un suceso o cronotopo. Al menos es lo que casi todo el mundo cree, salvo algunos físicos que se empeñan en convencernos de que hay otras dimensiones, aunque arrolladas en círculos de radio tan pequeño que sólo a altísima energía se despliegan como las dimensiones ordinarias. Pero puede haber fenómenos, como la gravitación, sensibles a esas extradimensiones incluso a distancias macroscópicas (del orden del milímetro). Este hecho, así como la posibilidad de que el propio concepto de suceso o punto del espacio-tiempo se pierda por indeterminación cuántica y sea necesario erigir un substrato geométrico no conmutativo que reemplace el marco espacio-temporal ordinario, serán objeto de estudio.

Finalmente, los grupos matemáticos estructuran las simetrías físicas que a su vez revisten a las leyes fundamentales. La discreción cuántica ha revalorizado el papel de estas simetrías. Por un lado, los fenómenos de difracción han corroborado la existencia de simetrías cristalinas "prohibidas" (como la pentagonal de Penrose) y por otro, la existencia física de bosones y fermiones ha sugerido la introducción en las matemáticas del concepto de supergrupos y superálgebras y de las supersimetrías asociadas, con aplicaciones notables a la geometría diferencial y a la teoría del índice. Finalmente, las invariancias "gauge" y la rotura espontánea de simetrías forman parte de las leyes que rigen las interacciones básicas entre los constituyentes (hoy considerados últimos) de la materia. A estos extremos se prestará atención en la parte última de la conferencia.