Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Program 2004
La ilustración en el pensamiento matemático
Resumen de la conferencia por:

Manuel López Pellicer
Licenciado en Ciencias Físicas y Matemáticas. Doctor en Ciencias Matemáticas. Profesor Agregado de Análisis Funcional en la Universidad de Valencia (1975) y Catedrático de Matemática Aplicada en la Universidad Politécnica de Valencia desde 1979. Académico Correspondiente de la Real Academia de Ciencias (1989) y Académico Numerario desde 1998. Sus temas de investigación son Topología General y Análisis Funcional (espacios localmente convexos, espacios de Banach y Topología descriptiva). Es coautor de los libros Metrizable barrelled spaces (Logman, 1995), donde expone sus contribuciones en algunos problemas de tonelación y teoría de la medida, General Topology in Banach Spaces (Nova Scientific Publications 2001) y Unsolved Problems on Mathematics for the 21st Century (IOS Press 2001)
 
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resumen

El método geométrico de Euclides (¿325? – 265 a.C.) guió la obra científica hasta el siglo XVII. Incluso le encontramos en las primeras exposiciones de los nuevos métodos infinitesimales de Newton (1643-1727) con los que investigó las leyes de la naturaleza, pues era el único modo de hacerse entender. Pero el Ensayo sobre el conocimiento humano de Locke, el formalismo de Leibnitz (1646-1716) y la vida propia que adquiere el análisis matemático en el siglo XVIII anuncian el final del modo geométrico.

Antes del siglo XVIII la matemática fue un instrumento de resolución de problemas. En el siglo XVIII los fenómenos naturales sirven de motivación para nuevos desarrollos analíticos, debido a que la Ilustración trajo una confianza ilimitada en que el trinomio razón, símbolos algebraicos y métodos infinitesimales, era capaz de resolver cualquier problema analítico.

La figura destacada de los matemáticos nacidos y muertos en el siglo XVIII fue Euler, quien a la confianza en el poder algorítmico del símbolo agregó una capacidad de cálculo pocas veces igualada y una fecundidad prodigiosa. Se formó en el ambiente de los Bernouilli y desarrolló su intensa actividad investigadora en todos los campos de las ciencias Matemáticas y Físicas gracias a la protección de las cortes de San Petersburgo y Berlín. Sus memorias, más de un millar, tratan de aritmética, de la teoría de los números, de álgebra, de probabilidades, de cálculo infinitesimal, de geometría, de mecánica racional y aplicada, de astronomía, de física, de geografía matemática y algunas de filosofía. La mitad de sus escritos son de los últimos años de su vida, cuando, totalmente ciego, dictaba sus trabajos.

Así consiguió, casi por sí solo, dar vida a las publicaciones de las Academias de San Petersburgo y Berlín durante muchos años. Le debemos la iniciación de la teoría analítica de los números. En una carta dirigida a Christian Golbach reconoce, sin dar demostración, la certeza de la aún no demostrada1 "conjetura de Goldbach", que dice que todo número par es la suma de dos números primos. También buscó un método general para resolver ecuaciones de cualquier grado, y nos dejó un procedimiento general válido para ecuaciones de grados segundo, tercero y cuarto.

Las contribuciones más originales de Euler aparecen en análisis infinitesimal y le debemos los primeros tratados sistemáticos de esa disciplina: Introductio in analysis infinitorum (1748); Instituciones calculi differentialis (1755); e Instituciones calculi integralis (1768-1770), que, escrito en su época de ceguera, dedicó a la obtención de cuadraturas y a la integración de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales.

Otros matemáticos destacados de la generación de Euler fueron Cramer, Lambert, McLaurin y Clairaut2, quien, sin renunciar al modo geométrico, obtuvo aportaciones sobre el problema de los tres cuerpos, del que también se ocupó D’Alambert, autor del discurso preliminar de la gran Enciclopedia de 1751, de numerosos artículos, destacando su solución del problema de las cuerdas vibrantes.

La generación siguiente de matemáticos asiste a la Revolución francesa y su figura emblemática es Lagrange, que acentúa la preferencia por los métodos analíticos, extendiéndolos de la Matemática a la Física en su gran obra Mécanique Analytique, 1788, donde construye la Mecánica partiendo de las velocidades virtuales, utilizando el cálculo de variaciones e introduciendo el concepto de potencial, el principio de acción mínima y las coordenadas generalizadas. Lagrange ve la Mecánica como una geometría de cuatro dimensiones, siendo el tiempo la cuarta dimensión.

La obra de Laplace en Astronomía fue comparable a la de Lagrange en Mecánica. En sus cinco volúmenes Mecánica Celeste, 1799-1825, recogió todas sus aportaciones junto a las de Newton, Clairaut, D’Alambert, Euler y Lagrange. Le debemos también la Teoría analítica de las probabilidades (1812).

Análistas destacados de la época de Lagrange fueron Lacroix, cuyas obras fueron traducidas al inglés y motivaron el abandono de las fluxiones de Newton y la universalización de los métodos matemáticos continentales, y Legendre, a quien debemos la integrales elípticas y la obra Éléments de Géometrie (1794), donde hizo la observación casi profética de que "es probable que el número π no sea raíz de ecuación algebraica con coeficientes enteros", que supuso el resurgir de la Geometría, enriquecida con recursos de análisis y las aportaciones posteriores de Monge (Geometría Descriptiva, 1795) y sus discípulos, Meusnier, Dupin, Carnot y Poncelet. El geómetra Gergonne, autor del principio general de la dualidad, tiene el mérito de la fundación de la primera publicación periódica en 1810 dedicada exclusivamente a la matemática, que desapareció en 1832 y fue el germen de las revistas dedicadas a publicaciones matemáticas.

También a finales del siglo XVIII nace la Física Matemática, que siguiendo las huellas de Lagrange y de Laplace estudia los problemas físicos mediante los recursos de análisis infinitesimal con el mínimo indispensable de hipótesis físicas.

En 1812 Fourier publica su Teoría Analítica del Calor, donde utiliza modelos matemáticos que describen la distribución de temperaturas. Las series que utilizó han originado el nacimiento de las Series de Fourier y del Análisis Armónico.

Otros científicos que cultivaron la física matemática fueron Fresnel, que aplicó el análisis matemático a la teoría ondulatoria de la luz, Ampère, celebre por sus investigaciones electromagnéticas, Poisson, que aplicó la ecuación de Laplace a la función potencial, Green, que extendió la función potencial a problemas de electricidad y magnetismo y Lamé, con importantes contribuciones sobre la teoría del calor y de la elasticidad. Todos ellos tienen también contribuciones exclusivamente matemáticas.

Tan cierto es que los matemáticos, hayan leído o no a Euclides, están aún impregnados de su espíritu, como que los científicos son, significativamente, hijos de la Ilustración.

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1 Faber y Faber ofreció un millón de dólares por su resolución entre el 20 de marzo de 2000 y el 20 de marzo de 2002. Sabemos que la conjetura de Goldbach es cierta para números inferiores a 6×1016
2 Clairaut ha sido uno de los matemáticos más precoces. Fue elegido miembro de la Academia de París a los 18 años.