Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Programa 2007
El último teorema de Fermat: un enigma entre el cálculo e ideas desde 1630 a 1994
Resumen de la conferencia por:

Manuel López Pellicer
Físico, Matemático y Doctor en Ciencias Matemáticas, con Tesis dirigida por M. Valdivia. Profesor Agregado de Análisis Funcional (1975, Valencia) y Catedrático de Matemática Aplicada (desde 1979, Valencia). Académico de la Real Academia de Ciencias (Correspondiente en 1989 y Numerario desde 1998). Trabaja en Topología General y Análisis Funcional, investigando en Espacios de Banach, Espacios Localmente Convexos y Topología Descriptiva. Sus contribuciones en tonelación y teoría de la medida se recogen en el libro Metrizable barrelled spaces (Logman, 1995), del que es coautor. Ha colaborado en los libros General Topology in Banach Spaces (Nova Scientific Publications 2001) y Unsolved Problems on Mathematics for the 21st Century (IOS Press 2001). Algunas de sus publicaciones del año 2006 pueden verse en el Bulletin of the Australian Mathematical Society, en el Journal of Mathematical Analysis and Applications, en Mathematische Nachrichten y en la Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid, de la que es editor de su Serie A, Matemáticas.
 
texto completo publicado de la conferencia (pdf - 677 kb.)

resumen

Poco después de 1630, en una página de la Aritmética de Diofanto, Fermat anotó: “No es posible que una potencia mayor que dos sea suma de dos potencias del mismo tipo. Tengo una demostración que no cabe en los estrechos márgenes de este libro.” En 1994 Wiles lo probó con técnicas sofisticadas y no recibió la medalla Fields por haber cumplido cuarenta años. De este resultado, llamado el último teorema de Fermat (UTF), Singh afirma en el libro El Enigma de Fermat que es el mayor problema matemático. Ni Euler ni Taniyama, entre otros, pudieron resolverlo.

Fermat escribía notas en el margen de los libros, muchas erróneas, como que 22n+ 1 es un primo, pues 225+ 1 no lo es (Euler, 1732). Sólo publicó una demostración y dudó de su sólo anunciada prueba del UTF. Sus notas y cartas están en la edición de 1630 de la Aritmética de Diofanto, hecha por su hijo Samuel y estudiada por Euler en 1753, quien resolvió muchos problemas propuestos, como el UTF para n=3 y n=4, indicando que al ser las demostraciones tan diferentes no sabía obtener una prueba general.

Euler generalizó el UTF, obteniendo soluciones enteras de a3+b3+c3=d3; pero no pudo descomponer un entero en suma de cuatro cuadrados (Lagrange, 1787), ni encontrar soluciones enteras de a4+b4+c4+d4=e4, afirmando erróneamente que no hay tres bicuadrados cuya suma sea un bicuadrado (26824404+153656394+187967604=206156734, Elkies, 1988).

Euler discutió epistolarmente de física matemática, series, integración y sobre ideas de Fermat con Goldbach durante 35 años, sentando las bases de la Teoría Analítica de Números. Golbach dejó la aún conjetura de que cada par es diferencia de dos primos.

Gauss sistematizó la Teoría de Números en su obra Disquisiciones Arithmeticae (1801) y en carta póstuma esbozó una prueba del UTF para el caso n=5, e indicó que era aplicable al caso n=7 (1863). Mantuvo correspondencia con Sophie Germain, quien probó que si n y 2n+1 son primos y xn+yn=zn, uno de los números x, y o z es divisible por n. Así redujo la prueba del UTF a los casos de que ninguno o sólo uno de los números x, y y z fuese divisible por n.

En el caso primero, Germain probó el UTF para n<100 y Legendre hasta n=197. El segundo caso se probó para n=5 (Legendre y Dirichlet, 1825), n=14 (Dirichlet, 1832) y n=7 (Lamé, 1839). Discutieron sistemáticamente sobre el UTF Cauchy, Liouville y el mismo Lamé, quien en marzo de 1847 presentó una posible vía para resolver el UTF, con una idea de Liouville sobre la descomposición de xn+yn , suponiendo la unicidad de esa descomposición, hipótesis invalidada por Kummer en 1847. Para preservar la unicidad, Kummer definió los números complejos ideales y los primos regulares. Probó el UTF para exponentes primos regulares, recibió el Gran Premio de la Academia de París (1858) y creyó que había resuelto el UTF para infinitos casos. Recientemente se probó que hay infinitos números primos regulares. Desde 1915 era conocida la existencia de infinitos primos no regulares (K. L. Jensen).

Las ideas de Kummer, sistematizadas algorítmicamente por Kronecker y conceptualmente por Dedekind, originaron la teoría algebraica de los números y el álgebra conmutativa (siglo XX). Dedekind buscó ideas puras, pues deseaba reducir los cálculos y maximizar el pensamiento planeado (Minkowski).

Vandiver no siguió esta tendencia y publicó desde 1924 artículos que probaron el UTF para exponentes primos menores que 619. Obtuvo en 1929 el premio Cole de la A.M.S. Con Emma y Derrick Lehmer y una computadora demostró el UTF para exponentes menores o iguales que 2500 (1954). Nuestros ordenadores permiten probar el UTF para los primeros mil millones de valores del exponente, si bien la prueba general llegó conceptualmente con Andrew Wiles, quien se interesó por el UTF en su niñez con el libro El último problema de Bell.

Alrededor de 1950 surgió la conjetura de Taniyama –Shimura– Weil (TSW). En 1985 Gunther Frey dijo que su validez en ciertos casos, implica el UTF, afirmación probada por Kenneth Ribet ese año. Wiles conoció la prueba de Ribet en 1986 y se dedicó por completo hasta 1993 a probar la indicada validez de TSW, expuesta en su famosa conferencia en Cambridge, tras ocho años de solitaria reclusión. Se descubrió un error que le obligó a dedicar otros ocho meses a su prueba, en colaboración con Richard Taylor.