Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Programa 2003
Computación, Física y Matemática en John von Neumann
Resumen de la conferencia por:

Manuel López Pellicer
Licenciado en Ciencias Físicas y Matemáticas. Doctor en Ciencias Matemáticas. Ha sido Profesor Agregado de Análisis Funcional en la Universidad de Valencia y, desde 1979, Catedrático de Matemática Aplicada en la Universidad Politécnica de Valencia. Académico Correspondiente de la Real Academia de Ciencias desde 1989 y Académico Numerario desde 1998. Sus artículos de investigación versan sobre espacios topológicos regulares, k-topologías y topologías Tf, espacios de funciones continuas, estudio y separación de las clases de tonelación. Es coautor del libro Metrizable barrelled spaces (Logman, 1995), donde expone sus contribuciones en algunos problemas de tonelación y teoría de la medida. Es coautor de dos capítulos en General Topology in Banach Spaces (Nova Scientific Publications 2001) y en Unsolved Problems on Mathematics for the 21st Century (IOS Press 2001)
 
texto completo publicado de la conferencia (pdf - 1.43 mb.)

resumen

La familia de John von Neumann era de clase alta, lo que le permitió tener tutores privados y relacionarse con la elite artística y científica del país. A los trece años utilizaba términos de matemático profesional y a los quince años dominaba la obra Reelle Funktionen de Constantin Carathéodory.

Von Neumann realizó sus estudios secundarios en el “Gymnasium” luterano, tal vez la mejor escuela de Hungría. Fue amigo y condiscípulo de Jenö Wigner, futuro premio Nobel de Física, y tuvo un excelente profesor de matemáticas, László Rátz, que le proporcionó tutores matemáticos adecuados, como József Kürschák, Gábor Szegö y Mihály Fekete, con quien a los dieciocho años escribió Von Neumann su primer artículo sobre un principio geométrico del que se deducen los teoremas de Gauss y Jensen de acotación de las raíces de la derivada de un polinomio. Simultaneó la imposición familiar de estudiar Química e Ingeniería Química en Berlín y Zúrich con los estudios de Matemáticas y Física en la Universidad de Budapest. En 1930 fue a investigar en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton.

Desde 1939 participó en el Proyecto Manhattan y, al no poder modelizar el flujo de un gas comprensible en un tubo con métodos analíticos, abordó el problema numéricamente. La discretización le llevó a una ecuación aproximada en diferencias finitas, cuya solución numérica dependía de la estabilidad, de la elaboración de unos algoritmos eficientes de resolución y de un lenguaje para implementarlos en un ordenador capaz de ejecutarlos en el menor tiempo posible.

Este trabajo de Von Neumann aportó contribuciones al estudio de la estabilidad numérica de los métodos de diferencias finitas y a la aplicación de los ordenadores a la resolución de problemas de análisis numérico. Al observar que muchos métodos numéricos existentes no eran adecuados para implementarlos en un ordenador, modificó muchos métodos clásicos y desarrolló otros nuevos para resolver ecuaciones, encontrar valores propios, invertir matrices, hallar extremos de funciones de varias variables, etc. Así pudo describir en 1944 un comportamiento oscilatorio en su problema de flujo de gas, que fue confirmado posteriormente por Holian y Straub en 1972 y por Hou y Lax en 1991.

Los equipos que utilizó Von Neumann en la resolución de éste y otros problemas de análisis numérico, desde finales de 1943, fueron una máquina IBM de tarjetas perforadas y el ordenador ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Calculator), cuya construcción comenzó en julio de 1943 en la Escuela Moore de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Pensilvania, bajo la dirección de Presper Eckert y John W. Mauchly. El cableado del ENIAC tenía que ser adaptado a las necesidades de cada problema a resolver, por lo que Von Neumann alteró el diseño lógico del ENIAC con un cableado universal capaz de abordar muchos problemas diferentes. El ENIAC tenía 18000 válvulas, podía realizar 5000 cálculos por segundo y estaba más tiempo averiado que en funcionamiento.

Después de la primera guerra mundial Von Neumann colaboró con Eckert y Mauchly en el diseño y fabricación del EDVAC (Electronic Discrete Variable Automatic Computer), concebido como un proyecto para corregir los fallos del ENIAC. En su informe técnico, en la primavera de 1945, proponía un sistema de computación digital de alta velocidad totalmente automatizado y sentaba las bases de la arquitectura de computadores que lleva hoy su nombre. Ese mismo año publicó dos artículos en colaboración con Hermann Goldstine. En el primero proponía una arquitectura de ordenadores basada en cuatro órganos principales: La unidad aritmético-lógica (ALU), la unidad de control (CU), la unidad de memoria, y los dispositivos input-output o periféricos, a los que asignaba las funciones aritmético-lógicas, de control, de almacenamiento y de conexión con el operador humano. Eckert y Mauchly abandonaron pronto el proyecto por una controversia con Von Neumann sobre derechos de patentes. Desde ese momento Von Neumann dirigió un equipo de matemáticos e ingenieros que completaron la fabricación del nuevo ordenador en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Del EDVAC se realizaron varias réplicas en otros centros, como el JOHNIAC, construido por la RAND Corporation y el MANIAC para el Laboratorio de Los Álamos.

En 1946, Von Neumann publicó, junto con Arthur Burks, otro artículo sobre Arquitectura de Ordenadores y Diseño Lógico, donde defiende que el hardware del ordenador debe ser simple y no debe modificarse en cada aplicación. Von Neumann propone que cada programa debe actuar como instrumento de control sobre el hardware, adaptándolo a cada nueva aplicación. Generalmente se atribuye a Eckert y Mauchly la idea de almacenar el programa en la memoria, pero fue Von Neumann quien propuso codificar sus instrucciones como números binarios y almacenarlos en una memoria primaria direccionada en forma de palabras de longitud fija. También le debemos la utilización del contador de programa que almacena un único número binario que indica la dirección de la memoria donde se encuentra la siguiente instrucción del programa que va a ser ejecutada.

En 1946, Von Neumann fue nombrado presidente del Comité de Computación de Alta Velocidad del Consejo de Investigación Nacional de Estados Unidos. A partir de 1948 se interesó por la teoría de los autómatas, a la que dedicó al menos cinco trabajos que van desde los autómatas probabilísticos hasta las redes neuronales.

A los sesenta artículos de Von Neumann sobre ecuaciones en derivadas parciales, Mecánica de Fluidos, Meteorología, Estadística, Teoría de Juegos y Teoría de la Computación hay que añadir veinte de Física, preferentemente Mecánica Cuántica y otros sesenta de Lógica, Teoría de Conjuntos, Grupos Topológicos, Teoría de la Medida, Teoría Ergódica, Análisis Funcional y Anillos de Operadores.

El Padre de los Ordenadores, como a veces se denomina a Von Neumann, obtuvo muchos resultados matemáticos trascendentes, como la resolución en 1933 del quinto problema de Hilbert en 1933 para grupos compactos localmente euclídeos, el sistema axiomático de Neumann, Bernays y Gödel, que evita el concepto de todo y la noción de conjunto, que son los dos puntos débiles de las axiomáticas clásicas, y su explicación de la naturaleza de la paradoja de Banach-Tarski por la existencia en el correspondiente grupo de movimientos de subgrupos “patológicos” (llamados no amenables), entre otros muchos.

Muchas de sus aportaciones matemáticas han sido instrumentos muy eficaces para la Mecánica Estadística, la Mecánica Cuántica y la Teoría de Campos. Algunos ejemplos son su teorema ergódico, su extensión del teorema espectral de Hilbert a operadores normales o sus resultados en ciertas álgebras de operadores, llamadas hoy Álgebras de Von Neumann.