Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Program 2016-17
Paradojas, teoremas y la duplicación del cubo
Resumen de la conferencia por:

Manuel López Pellicer
Licenciado en Ciencias Físicas y Matemáticas. El Profesor Manuel Valdivia dirigió su Tesis de doctorado en Ciencias Matemáticas. Fue Profesor agregado de Análisis Funcional (1975, Universidad de Valencia) y Catedrático de Matemática Aplicada (1979-2015) en la Universidad Politécnica de Valencia, donde es Profesor emérito desde 2015. Académico de la Real Academia de Ciencias (Correspondiente en 1989 y Numerario desde 1998). Sus campos de investigación son Topología General y Análisis Funcional, superando el centenar de artículos sobre Espacios de Banach, Espacios Localmente Convexos y Topología Descriptiva. Desde 2004 es editor de la Revista de la Real Academia de Ciencias Serie A, Matemáticas. Es coautor de los libros Metrizable barrelled spaces (Logman, 1995), General Topology in Banach Spaces (Nova Scientific Publications 2001), Unsolved Problems on Mathematics for the 21st Century (IOS Press 2001), Descriptive Topology in Selected Topics of Functional Analysis (Developments in Mathematics 24, Springer 2011) y coeditor de Descriptive Topology and Functional Analysis (Proms 80, Springer 2014). Académico numerario de la Real Academia de Cultura Valenciana desde 2007
 
El término paradoja deriva del vocablo griego paradoxon, que significa inesperado o increíble. La paradoja del mentiroso se atribuye al cretense Epiménides, de quien se dice afirmaba que "todos los cretenses son mentirosos" y preguntaba si esta afirmación era verdad. Esta y otras paradojas similares se calificaron en la Edad Media como insolubilia.

Una de las paradojas matemáticas más famosa es la de Banach-Tarski, conocida como paradoja de duplicación del cubo. Es un teorema de geometría de conjuntos cuyo enunciado es el siguiente: Sea C el subconjunto de puntos de un cubo tridimensional de lado unidad. Existe una descomposición de C en un número finito de subconjuntos que mediante movimientos pueden reunirse de manera diferente a la original formando dos copias idénticas al cubo inicial.

Los movimientos no cambian la forma de las piezas y, aplicando reiteradamente este teorema, se deduce que existe una descomposición del cubo C en un número finito de subconjuntos que, reunidos adecuadamente, dan un conjunto de cubos cuyo volumen supera al de la Tierra.

La situación bidimensional es diferente, pues John von Neuman demostró que es imposible descomponer un cuadrado bidimensional en un número finito de subconjuntos de manera que al juntarlos de forma diferente mediante movimientos se obtengan dos cuadrados idénticos al inicial.

Desde la antigüedad hasta nuestros días, las paradojas científicas han llevado a conceptos muy profundos que han abierto nuevos campos para la ciencia. El que a los griegos les resultase paradójico que la diagonal y el lado de un cuadrado no pudiesen ser medidos exactamente con una misma unidad de longitud les llevó a descubrir los números irracionales.

El no seguir la recomendación de Galileo de evitar conjuntos infinitos por las paradojas que presentan, dio lugar, el siglo pasado, al desarrolló de la moderna teoría de conjuntos, que ha ejercido profunda influencia sobre la filosofía de la ciencia.

Paradojas científicas y trucos de ilusionismo tienen en común causar asombro y deseo de encontrarles explicación racional, vinculada en muchos casos a la precisión en el lenguaje. Los científicos siempre tratan de encontrar y divulgar la explicación de las paradojas, a diferencia de los ilusionistas, que esconden con celo sus trucos.

Paradojas importantes muy conocidas son las de Berry, Hilbert y Russell, entre las Matemáticas, así como las de Bell, Boltzmann, Fermi y Maxwell en Física.